Abstract: A divisibility test of Arend Heyting, for polynomials over a field in an intuitionistic setting, may be thought of as a kind of division algorithm. We show that such a division algorithm holds for divisibility by polynomials of content 1 over any commutative ring in which nilpotent elements are zero. In addition, for an arbitary commutative ring R, we characterize those polynomials g such that the Rmodule endomorphism of R[X] given by multiplication by g has a left inverse.




0 if 0<j£ m 
s_{k}a_{k}^{m+1} if j=0 
0 if 0<j£ m 
a_{k}^{m+1} if j=0 
0 if 0<j£ m 
1 if j=0 
0 if 0<j£ m 
a_{0}  0  0  ···  0  0  0  ···  0 
a_{1}  a_{0}  0  ···  0  0  0  ···  0 
a_{2}  a_{1}  a_{0}  ···  0  0  0  ···  0 
· · · 
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· · · 
· · · 
· · · 
· · · 
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···  0 
a_{n}  a_{n1}  a_{n2}  ···  a_{0}  0  0  ···  0 
0  a_{n}  a_{n1}  ···  a_{1}  a_{0}  0  ···  0 
0  0  a_{n}  ···  a_{2}  a_{1}  a_{0}  ···  0 
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0  0  0  ···  a_{n}  a_{n1}  a_{n2}  ···  a_{0} 
0  0  0  ···  0  a_{n}  a_{n1}  ···  a_{1} 
0  0  0  ···  0  0  a_{n}  ···  a_{2} 
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0  0  0  ···  0  0  0  ···  a_{n} 
b_{0}  b_{1}  b_{2}  ···  b_{m}  ···  b_{m+n} 
0  b_{0}  b_{1}  ···  b_{m1}  ···  b_{m+n1} 
0  0  b_{0}  ···  b_{m2}  ···  b_{m+n2} 
· · · 
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0  0  0  ···  b_{0}  ···  b_{n} 
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